Hukum Distribusi Eksponensial pada Antrian ( Riset Operasi 1)

Selasa, 19 Januari 2010


Karakteristik operasi sistem antrian terbagi menjadi dua bagian besar yaitu distribusi probabilitas waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. Untuk permasalahan sistem antrian yang real, distribusi tersebut hampir digunakan dalam semua bentuk (masalah dibatasi dengan nilai negatif tidak akan terjadi).

Meskipun persamaan model dari sistem antrian hanya mewakili beberapa bentuk permasalahan yang real, karena itu penting bagi kita untuk mengasumsi beberapa bentuk dari distribusi tersebut. Lebih baik lagi jika asumsi yang kita gunakan adalah asumsi yang suffisien realistik yang membuktikan bahwa penaksiran model tersebut beralasan disamping itu harus sufisien sederhana yang menurut pada hukum matematika. Dan karena itulah sebagaian besar sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial.


Jika variabel random T mewakili waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan (kita harus menandai kejadian tersebut waktu antar kedatangan atau waktu pelayanana sebagai kejadian). Variabel random T dikatakan memiliki distribusi eksponensial dengan parameter α, jika probabilitas ini memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

f (t)= αe-αt, untuk t≥0 dan f (t)=0, untuk t<0>

Dan komulatif distribusinya sebagai berikut:

P(T≤t)=1-e-αt, t>0

P(T>t)= e-αt, t>0

Sedangkan nilai ekspektasi dari T dan varians T adalah:

E(T)=1/α dan Var(T)=1/α2

Ada enam syarat yang menunjukkan apakah sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial. Syarat-syarat tersebut dapat kita lihat sebagai berikut:


1. f (t) adalah fungsi menurun t (untuk t≥0)

Akibat dari syarat 1 tersebut adalah untuk semua nilai positif dari t dan . Meskipun tidak hanya memungkinkan tetapi juga secara relatif seperti T akan mengambil sebuah nilai yang kecil dan dekat dengan nol.

Karena itu T mengambil nilai yang sangat kecil, meskipun interval kedua nilainya dua kali lebih besar daripada interval pertama. Apakah masuk akal syarat 1 untuk T dalam sistem antrian? Jika T mewakili waktu pelayanan jawabannya tergantung pada bentuk umum pelayanan yang akan didiskusikan selanjutnya.

Jika T mewakili waktu antar kedatangan, maka hukum 1 akan keluar dari situasi dimana sistem antrian sebagian besar pelanggan akan menunda masuk jika melihat pelanggan lain yang masuk lebih dahulu daripada mereka. Dengan kata lain, hal tersebut seluruhnya harus tetap dengan kejadian umum pada waktu kedatangan yang random.

2. Kekurangan memori (lack of memory)

Syarat ini dapat ditunjukkan sebagai untuk semua postif t dan . Dengan kata lain distribusi probabilitas dari waktu yang tersisa sampai kejadian terjadi selalu sama, tanpa memperhatikan berapa banyaknya yang berjalan, sehingga dapat ditulis dalam model matematik

Untuk kejadian waktu antar kedatangan, syarat tersebut menjelaskan situasi umum dimana waktu kedatangan selanjutnya tidak terpengaruh dengan waktu kedatangan terakhir. Untuk waktu pelayanan syarat ini sangat sulit untuk diinterpretasikan.


3. Paling sedikit variabel random eksponensial memiliki distribusi eksponensial.

Jika T1, T2, ..., Tn adalah variabel random eksponensial dengan parameter α1, α2, ... αn. Jika U adalah variabel random yang mengambil nilai minimum dari T1, T2, ..., Tn maka U=min{ T1, T2, ..., Tn}


4. Berhubungan dengan distribusi poisson

Syarat ini berguna untuk menjelaskan peluang tingkah laku ketika waktu antar kedatangan mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter λ. Dalam kasus ini, X(t) adalah angka kedatangan yang berlalu dalam waktu t, dimana α=λ yang disebut rata-rata angka kedatangan (mean arrival rate)


5. Untuk semua nilai positif dari t,

T dapat mewakili waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan dalam sistem antrian, syarat ini menunjukkan penaksiran peluang kejadian pada kejadian dengan interval yang bernilai kecil. Syarat ini diambil dari penaksiran yang tepat dari limit à=0


6. Tidak memiliki pengaruh dari pengumpulan data (aggregation) dan yang tidak mengumpul (dissaggregation)

Syarat ini relevan untuk dipakai jika proses input berdistribusi poisson, meskipun secara langsung menunjukkan bahwa kejadian tersebut berdistribusi eksponensial (lihat syarat 4)


Untuk mendownload hukum distribusi eksponensial dokumen (*docx) klik di sini

0 komentar:

Poskan Komentar

Share

| More